Enseñanza-aprendizaje de las tablas de multiplicar con números naturales en 2º Grado de Primaria.


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Tomando la decisión…

En las últimas  décadas, se han realizado grandes esfuerzos curriculares por hacer de la enseñanza de las matemáticas una actividad escolar más acorde a los problemas de la vida cotidiana, donde se realizan diversos procedimientos para resolver situaciones diversas, lo cual se facilita, si se poseen esas nociones “claves” que den lugar a un sinfín de estrategias cognitivas para arribar a resultados altamente eficientes que atiendan tanto lo inmediato, así como favorecer una sólida formación matemática.

Se parte de la idea de que aprender matemáticas estimula un pensamiento ordenado que se pone en juego al resolver situaciones de compra o intercambio de bienes en alguna situación de la vida, donde sin plena conciencia, se activan reflexiones lógicas, propias de un pensamiento abstracto, relacional, que se relaciona con diversos campos del conocimiento social.

Por lo que favorecer una actitud matemática, ha sido un largo reto curricular, que cada vez más desmitifica la idea de que sólo algunas personas tienen el don o privilegio para acceder a este campo del conocimiento, idea que prevalece y atemoriza, alejando a los niños de esta posibilidad de aprender nociones tan importantes en el tiempo escolar, mismas que se desplegarán en la medida en que  lo necesiten en la vida cotidiana, así, habrá quienes pueden llevar este saber a sus máximas posibilidades,  otros, quizás solo logren un dominio atento a las exigencias de su vida personal y social.

Por ello, la educación básica, es el espacio y tiempo oportuno donde se brindan las condiciones pedagógicas para vivir este encuentro con nociones matemáticas relacionadas con el cálculo, la geometría, el álgebra, la proporcionalidad, etc., abandonando paulatinamente una enseñanza que respondió a otras visiones y demandas sociales, cuya enseñanza necesitó ser de otras formas más apegadas al saber mismo, siendo abstracta y memorística,[1] lo cual hoy, ya no es pertinente.

Hoy en día, estamos frente a una generación de niños que está de cara a un mundo totalmente diferente al vivido por los adultos en su infancia –donde nos contamos los profesores-.  Estos niños nacen rodeados de diversos estímulos que favorecen formas de mirar el mundo de una manera especial, donde necesitan formas de pensamiento, lenguaje, y actitudes que les orienten para asumir los compromisos y responsabilidades consigo mismos, con quienes le rodean, y ante su entorno social y natural.

Por tanto, la generación adulta, necesita ayudarles a apropiarse de la mayor carga cultural posible con la que deberán continuar los rumbos de la vida, y en este propósito, todo lo que se realice en las aulas conlleva fuertes retos pedagógicos que en momentos excede a nuestra buena intención, ya que estamos frente a una infancia posmoderna, cuyas prioridades de desarrollo son tan nuevas y desconocidas al ser estimuladas por nuevas atmósferas creadas por el avance de la ciencia en la tecnología que el niño vive desde el uso más cotidiano con diversos dispositivos que lo sitúan frente el al Internet y las redes sociales, desde los cuales interactúa con diversas informaciones y situaciones que se modifican rápidamente sus pautas de conducta, sus prioridades, quedando la escuela rebasadas, con fuertes dificultades para ganar su interés, construir disciplinas, pues sin estos elementos, no hay mucha garantía de una apropiación de lo hoy se le llama “aprendizajes claves[2], que de acuerdo al nuevo curriculum, no pueden obviarse, pues se trata de un conocimiento matriz que favorezcan el aprendizaje más estables, fuertes, frente a otros conocimientos cada vez más emergentes y volátiles.

Dentro de este conocimiento matriz, como parte del cálculo, tenemos a las tablas de multiplicar, cuya buena apropiación da garantía de otros procedimientos matemáticos importantes a los largo de su vida escolar, y con esta consciencia, se parte de la idea de reflexionar cómo se hace este procedimiento didáctico, pues si es un “aprendizaje clave”, se necesitan evidencias de la apropiación lograda, así como reconocer qué tanto se avanzó, y “mirar” en lo hecho, los pendientes, que en lo realizado se deja ver, como un acto de evaluación, no para medir, sino para percibir en lo hecho, lo por hacer.

El documento se organiza en dos etapas.  En la primera se revisan las motivaciones y desafíos intelectuales de diseñar un proceder didáctico cuando se tiene la intencionalidad de mirar más lejos de los sentidos formativos del grado, y visualizar al niño en su vida escolar, tratando de dejar nociones-semillas por así llamarles como aprendizajes por detonarse en otros espacios

La segunda parte, tiene que ver con los procedimientos didácticos, que son ejercicios y actividades conocidas, nada del otro mundo, donde lo que importa es mostrar cómo se fueron utilizando para propiciar un aprendizaje siempre en los umbrales del aprendizaje de cada niño, es decir, un umbral es un espacio de tránsito entre lo que se conoce y lo desconocido, y cuando éste se traspasa, se vive un cambio, una transformación, por tanto, los ejercicios realizados han tenido esta intención de desafiar al  niño, quien situado en lo que cree que es el fin, sucede que no, que hay más por explorar y se ve lanzado a procesos que lo colocan en un nuevo comenzar, viviendo el aprendizaje como un proceso de infinitas posibilidades, se siente desafiado, pone en juego su saber fascinado por resolver lo nuevo. Vive la idea d que aprender no es un acto pasivo, sino íntimamente-activo, emotivo, pasional.

Y… como leí hace poco, esto de atrapar la experiencia para contarla, tiene que ver con detenerla, mirarla y mirarse a uno mismo.  Escribir la experiencia pedagógica no es una tarea fácil, pues amenazan los olvidos, la ignorancia, el miedo a hablar de los errores, y tanto más que no sabemos pero que silencia, por lo que definitivamente, pese a estos inconvenientes, es mejor intentarlo para dejar algo como memoria escrita, pues de otro modo, nuestra cultura pedagógica se pierde en el olvido social cuando nos retiramos de la docencia.

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La multiplicación, las tablas… ¿Qué son y qué necesitan ser para los niños?

Las tablas de multiplicar, son un contenido que en nuestro País, se introduce desde el segundo grado escolar, y esto ha dado lugar a una larga tradición.  Cuando los niños ingresan a segundo grado, con sus útiles, les compran sus “tablas de multiplicar”, y empiezan a ser repetidas por los niños adelantando tiempo, para aprender un contenido que de entrada se sospecha difícil, pues sabemos que muchos alumnos, avanzan por los grados sin tener la menor idea de qué se trata cuando hablan de tablas de multiplicar.

Así, culturalmente, tanto en la familia como en la escuela, se da por hecho que aprenderse las tablas de multiplicar es una necesidad, y para ello, se echa mano de procedimientos diversos, como iniciar con imágenes que representan la suma de un mismo dígito, hasta pensar que solo es un ejercicio de memoria, y se decide que si se aprenden primero la tabla del nueve, aprender el resto, no tendría problema.

Sea el modo en que se inicie y se siga, terminamos por pensar, que aprender las tablas, es un asunto de capacidad de memorística, y hacia eso encaminamos todos nuestros esfuerzos (sin generalizar, pues habrá casos en lo que esto no sea así muy probablemente). En la nueva propuesta curricular, y en muchos documentos, se afirma que las nuevas generaciones dadas sus características necesitan formas de enseñanza que les ayude a esclarecer qué es eso que necesitan aprender generando en ellos entusiasmo por hacerlo.

Curricularmente se solicita a los profesores, introducir este contenido desde la noción de suma iterativa, es decir,  la suma donde se repite un cierto número de veces el mismo dígito, para que el niño aprecie la repetición de un patrón acumulativo y se apropie de la idea de veces.  Pero para esto, los niños necesitan conocimientos previos, nociones sobre lo que es la suma, y antes de esto, la noción de número, en donde subyace un manejo de relaciones abstractas que les permiten conteos ascendentes y descendentes, la agrupación decimal y valores posicionales en las cifras, diferenciar desde estos criterios, números mayores y menores, entender que sumar es reunir elementos desde criterios de inclusión diversos, que dan lugar a cantidades mayores que los elementos reunidos.

Realizar conteos hasta de tres cifras, leerlas y escribirlas, realizar sumas y restas amerita a su vez procesos de conciencia, que permita que ellos tengan una explicación de por qué hacen lo que hacen (en los libros de matemáticas actuales se propicia mucho esto), lo que llamaríamos una meta cognición del conocimiento.  En cada desafío matemático de su libro de segundo, se coloca al niño en el esfuerzo de que explique por qué hace el procedimiento que hace y así, realizar actividades matemáticas razonadas, desplegando su imaginación y creatividad.

Desde tales aprendizajes, continuar con las tablas de multiplicar, no podría ser sólo un asunto de memoria, sino del uso de nociones que ya tienen consolidadas para ponerlas en juego y desde ellas, moverse hacia un nuevo aprendizaje.  ¿A qué nuevas nociones matemáticas se enfrenta?

De acuerdo a Vergnaud, (en 1990) quien estudia el campo conceptual de las estructuras multiplicativas, distingue tres tipos de situaciones:

“La primera, muy habitual en las situaciones de enseñanza, por ejemplo “Una bolsa tiene 7 dulces, ¿cuántos dulces hay en 6 bolsas?” nosotros enfatizaos una solución funcional entre la unidad de medida bolsas, y la unidad de medida, dulces.

Un segundo problema se presenta así: “Tenemos 3 poleras distintas y 4 pantalones distintos, ¿cuántas combinaciones de polera y pantalón son posibles?”  Aquí, se trata de construir la función proporcional donde se asocian dos campos. 

Y una tercer forma “Andrés tiene el triple de lápices que José, ¿cuántos lápices tiene Andrés si José tiene 4?” [3]

Podemos trabajar con las tres situaciones dependiendo de cómo entendemos la multiplicación, pues por un lado se le puede considerar como una nueva operación que nada tiene que ver con la suma, y se presenta  como una operación aritmética, donde se encuentra un número llamado producto al factorizar el multiplicando y el multiplicador. O bien, procedemos a plantearla desde el modelo aditivo, que basado en la repetición de un número que responde a una misma especie, permite hallar su resultado.

¿Cuál definición privilegiamos? En la actualidad, curricularmente,  la forma aditiva es la sugerida, en el campo de las prácticas docentes, puede ser solo factorización, formas que no eximen a los niños de comprender que multiplicar es trabajar con situaciones de proporcionalidad de áreas y su combinatoria, entre otras, que es una operación que permite representar situaciones concretas y abstractas como representaciones gráficas, etc.

Moverse de una explicación a otra, es decir, desde la suma iterativa o como una operación aritmética nueva, la meta es que los niños no se pierdan de las nuevas relaciones conceptuales que a su vez que estos ejercicios propician, pues será la llave de otras situaciones de aprendizaje, como resolver situaciones de reparto, o división.

 

Acercamiento a la noción de tablas de multiplicar en los niños de 2º grado.

Después reflexionar un poco, la nueva noción en la que los niños deberán incursionar en el segundo grado y orientada por la tendencia curricular, se optó por llevar a los niños hasta el momento que todos esperamos, ver que ellos digan con facilidad y con alta comprensión cada una de las tablas, alojándose en su memoria de largo tiempo como contenido útil para apropiarse de otros aprendizajes matemáticos, cada vez más y más abstractos, pero a la vez, más de la realidad, como dijera Marx, en su método concreto-abstracto-concreto, lo más abstracto, es lo más real.

Este trabajo de acercamiento, se inició desde el segundo bimestre. Para hacerlo, se retomaron actividades que partió de lo realizado en el primer bimestre, como las actividades de conteo, escritura, y lectura de números hasta tres cifras, y para acceder a grandes cantidades hubo que hacerse conteos por secuencias, dando saltos.

Así, previamente, trabajamos con listas de números que iban de 100 en 100, 50 en 50, 20 en 20, 10 en 10, reconociendo números, analizándolos en su valor posicional, escribiéndolos, avanzando del menor al mayor, regresando del mayor al menor; dando tres cifras y construir todos los números posibles, lo que daba garantía, que la representación numérica, ya era entendida en la mente del niño.  No necesitábamos de objetos concretos para formar grupos, con la noción de decena, centena, el niño podía representar la cantidad mentalmente (esto en un 80% del grupo, el restante en proceso).

Trabajar con secuencias, permitió descubrir un patrón de acrecentamiento y de decrecimiento de los números;  siempre había una misma cantidad que se agregaba o restaba.

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Este conocimiento se utilizó para construir 8 secuencias, al 2, agregarle el 2, hasta 10 resultados (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20), haciendo lo mismo con los dígitos  3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.    Así, juntos hicimos las secuencias, las escribimos de esta manera, aquí la secuencia del 7 a manera de ejemplo:

  1. 7+7+7+7+7+7+7+7+7+7= ____
  2. 7+7+7=______
  3. 7+7+7+7+7+7=____
  4. 7+7=____
  5. 7+7+7+7+7+7+7=_____

(Ejercicios)

Los niños construyeron las 8 secuencias, una a una, para  luego trabajarlas desordenadamente, como aquí se muestra:

  1. 8+8+8+8+8+8+8+8+8=_____
  2. 5+5+5+5=____
  3. 9+9+9+9+9+9+9+9=______
  4. 7+7+7+7+7=_____
  5. 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=____
  6. 8+8+8=____
  7. etc. (algunos ejercicios)

Durante el tercer bimestre, con estas sumas iterativas, fueron capaces de contar de 6 en  6, 9 en 9 con facilidad, aplicando la idea de suma en caso de olvido.  Tratamos de memorizar estas formas de conteo, que finalmente, sería los resultados de las fórmulas de cada tabla.

En este tipo de ejercicios, se veían desafiados a sumar con rapidez.  Después de dominarlos, se procedió a tornar la suma iterativa en tabla de multiplicar, con ejercicios de este tipo:

1. 2+2+2+2+2+2+2+2+2= _____

                   9 X 2 = _____

2.   9+9+9+9+9+9+9=

____ X ____ = ____

(Ejemplos de ejercicios)

Y luego, esas tablas de multiplicar se tornaron en sumas, como se muestra:

1.  7 X 5 = _____

5+5+5+5+5+5+5= _____

2. 4 X 9 = _____

9+9+9+9= _____

(algunos ejercicios)

De este ir y venir durante el tercer semestre, estuvimos listos para construir las tablas, al inicio del  cuarto bimestre.  Nos dimos a la tarea de armarlas de una por una:

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Y con cada concentrado de este tipo, se logró concentrar las 10 tablas en una hoja, como instrumento de trabajo para ser utilizado mientras aun, las tablas, no se instalaban totalmente en la memoria.

Memorizar, fue la siguiente tarea que nos llevó gran parte del cuarto bimestre, para ellos, realizamos ejercicios donde se concentraban las tablas salteadas y repetidas, buscando en ellos, respuestas casi automáticas.  Ahora, casi terminando el cuarto bimestre, se puede afirmar que el 90% delos niños tiene un dominio de ellas, y que en contados casos, recurren a sus tablas impresas.  Se ha tornado un reto personal, no mirar las respuestas, sino decirlas de memoria.

Ahora, nos dedicamos a responder tarjetas, jugar lotería de tablas, y de vez en vez realizar hojas de respuesta rápida.   En medio de estas actividades, también vamos realizando operaciones aritméticas de multiplicación (ya hasta de tres dígitos, al dominar la suma con transformación, esto ha sido fácil):

Para iniciar el quinto bimestre, estamos frente a nuevos retos:

  • Continuar con el proceso de memorización hasta su máxima posibilidad.
  • Reconocer propiedades de la multiplicación, que implica trabajar con el concepto de multiplicación entendida como proceso de factorización, e implica reconocer las propiedades conmutativa y asociativa. Por ejemplo, analizar que 9 X 5 = 45 y que 5 X 9 = 45, aunque dan el mismo resultado, definen en una relación funcional diferente (9 bolsas con 5 dulces cada una, es diferente a 5 bolsas con 9 dulces, la cantidad a disfrutar en proceso de reparto, no es la misma).  Comprender, la idea de proporcionalidad, les llevará en otro momento, a entender que “el orden de los factores no altera el producto”, donde ambos son valores abstractos, para ser llenados con una realidad específica.
  • Igualmente, será importante asomarse a la propiedad asociativa de la multiplicación donde vemos implicada la suma en ejemplos como: (2  +  3 ) =  5    6 + 9 = 15
  • Igualmente, será conveniente profundizar en la idea de múltiplos y submúltiplos, partiendo de los conceptos de duplicar, triplicar, cuadriplicar, etc. construyendo tablas que resuelvan con rapidez las incógnitas que nos planteen algunos problemas.
  • Del ejercicio de construir las tablas, aplicar este ejercicio en la construcción de otras tablas donde se organicen datos de manera proporcional, aplicando la idea de proporcionalidad, pues al hacer esto se aprende a organizar información, y ayuda a tomar decisiones con cierta rapidez.

Para concluir, en este caminar didáctico, ya se ven revelados los nuevos retos pedagógicos en los que continuaremos en el tiempo restante para concluir el ciclo escolar.

Luz Divina Trujillo

Docente en grupo

Abril de 2018

 

[1] Cada diseño curricular, responde a los desafíos formativos de su propia época.

[2] “Lo básico-imprescindible hace referencia a aquellos aprendizajes que, en caso de no llevarse a cabo, condicionan o determinan negativamente el desarrollo personal y social del alumnado afectado, comprometen su proyecto de vida futuro y lo sitúan en una situación de claro riesgo de exclusión social”. César Coll Salvador, “Lo básico en la educación básica. Reflexiones en torno a la revisión y actualización del currículo de la educación básica”. Revista Electrónica de Investigación Educativa, Vol.8, No.1, (2006). Consultado en Agosto de 2016 en: http://redie.uabc.mx/vol8no1/contenido-coll.html

[3] Citado por Masami Isoda, Raimundo Olfos, en: La enseñanza de la multiplicación: el estudio de clases y las demandas curriculares.  (Valparaíso : Ediciones Universitarias de Valparaíso Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, 2009, en http://math-info.criced.tsukuba.ac.jp/upload/MultiplicationIsodaOlfos.pdf